Progrese în Navier-Stokes Millennium Problem Today Research and Science
Doi matematicieni arată că, în anumite condiții, ecuațiile Navier-Stokes dau rezultate care nu au sens.
Ecuațiile Navier-Stokes sunt atât eminamente practice, cu aplicații reale nesfârșite, cât și originea uneia dintre cele mai dificile și faimoase probleme pur matematice de soluție încă necunoscută [NASA, fragment].
Ecuațiile Navier-Stokes surprind în câțiva termeni concisi una dintre cele mai omniprezente caracteristici ale lumii fizice: fluxul de fluide. Ecuațiile, care datează din anii 1820, sunt folosite astăzi pentru a modela totul, de la curenții oceanici la turbulențe în urma unui avion sau fluxul de sânge în inimă.
Fizicienii cred că sunt ecuații cu fiabilitate rezistentă la bombe. Matematicienii, pe de altă parte, îi privesc cu suspiciune. Pentru matematicieni nu înseamnă mare lucru că par să funcționeze. Vor dovada infailibilității sale, că indiferent de ce fluid este, indiferent cât de departe în viitor este prevăzut fluxul său, matematica ecuațiilor va funcționa în continuare. Această garanție le-a eludat. Prima (sau prima echipă) care arată că ecuațiile Navier-Stokes funcționează întotdeauna sau dau un exemplu pe care nu o fac, va câștiga premiul de un milion de dolari pe care Institutul de Matematică Clay îl oferă celor care o fac, cum ar fi unul dintre așa-numitele probleme de șapte milenii.
Matematicienii au creat multe modalități de a încerca să rezolve problema. O nouă lucrare publicată pe internet în septembrie 2017 ridică serioase întrebări cu privire la faptul dacă o majoritate dintre aceste abordări, care a fost urmată de-a lungul timpului, va reuși. Lucrarea, de Tristan Buckmaster și Vlad Vicol, de la Universitatea Princeton, este primul rezultat care a constatat că, sub anumite ipoteze, ecuațiile Navier-Stokes oferă descrieri incongruente ale lumii fizice.
Așa pot fi instabilitățile complexe în evoluția a două fluide care se deplasează una lângă alta la viteze diferite. Matematicienii vor să știe dacă ecuațiile Navier-Stokes oferă întotdeauna o evoluție și doar una dintr-o stare inițială [Mark Stock].
„Ne facem o idee despre problemele inerente acestor ecuații și de ce este foarte posibil ca acestea să fie regândite”, spune Buckmaster.
Lucrarea lui Buckmaster și Vicol arată că atunci când soluțiile ecuațiilor Navier-Stokes sunt permise să fie desenate gros (mai degrabă o schiță decât o fotografie), ecuațiile încep să dea rezultate care nu au niciun sens: spun că același lucru fluidul, pornind de la aceleași condiții de pornire, poate ajunge în două (sau mai multe) stări foarte diferite. Ar putea curge într-un fel sau altul complet diferit. Dacă da, ecuațiile nu ar reflecta în mod fiabil lumea fizică pentru care au fost concepute.
Ecuații care explodează
Pentru a vedea cum ecuațiile pot eșua, să ne imaginăm mai întâi fluxul unui curent oceanic. În interiorul lor pot exista o multitudine de curenți care se intersectează, unele părți se mișcă într-o direcție cu o viteză și altele se deplasează în alte direcții cu alte viteze. Acești curenți care se intersectează interacționează între ei într-un joc reciproc în continuă evoluție de frecare și presiune a apei, care determină modul în care va curge fluxul.
Matematicienii modelează acest joc reciproc cu o hartă care ne spune direcția și magnitudinea curentului la fiecare poziție a fluidului. Această hartă, care se numește câmp vector, este un instantaneu al dinamicii interne a unui fluid. Ecuațiile Navier-Stokes iau acel instantaneu și îl întorc în timp, așa că ne spun cum va arăta acel câmp vector în fiecare moment ulterior.
Ecuațiile funcționează. Ele descriu fluxurile de fluide la fel de fiabil ca Newton prezice pozițiile viitoare ale planetelor; fizicienii le folosesc non-stop și, din nou și din nou, sunt de acord cu rezultatele experimentale. Matematicienii, totuși, doresc mai mult decât o confirmare anecdotică: vor dovezi că ecuațiile sunt inviolabile, că nu contează din ce câmp vector plecăm și că nu contează cât de departe în viitor începeți. ecuațiile ne vor oferi întotdeauna un câmp vector unic.
Acesta este subiectul corespunzător al problemei mileniului: se întreabă dacă ecuațiile Navier-Stokes au soluții (în care soluțiile sunt în esență câmpuri vectoriale) pentru toate punctele de pornire și toate momentele de timp. Aceste soluții trebuie să furnizeze direcția exactă și amploarea curentului în fiecare punct al fluidului. Soluțiile care oferă informații cu o astfel de rezoluție infinit de mare sunt numite „netede” sau „netede”. Cu o soluție lină, fiecare punct al câmpului are un vector asociat care ne permite să călătorim „lin” prin câmp fără a ne bloca vreodată într-un punct care nu are vector, un punct în care nu știm unde să mergem Următorul.