Paradoxul din Sankt Petersburg soluția
Acum câteva zile am prezentat o mică enigmă cunoscută sub numele de Paradoxul din Sankt Petersburg. Este vorba despre un jocuri de noroc a cărei valoare așteptată este infinită și, prin urmare, prețul corect pentru joc ar trebui să fie, de asemenea, infinit, în ciuda faptului că acest lucru este împotriva intuiției și a bunului simț. Unde este defectul sau captura? după cum am spus deja în postarea originală, rezultatul matematic este perfect corect. Cu toate acestea, ceva ne scapă.
În comentarii au fost contribuite idei și puncte de vedere foarte interesante. După părerea mea, dintre toate, cea mai interesantă reflecție este cea a celor care cred că valoarea „reală” așteptată a jocului este redusă deoarece de câte ori putem juca nu poate fi infinit, este limitat fizic. Dar chiar și așa, valoarea așteptată a jocului este încă prea mare pentru ca prețul corect să fie rezonabil (de exemplu, dacă am avea un plafon de o mie de rotiri, valoarea așteptată ar fi de 500 EUR, dar probabilitatea că vom depăși cinci sau șase fețe la rând sunt la fel de la distanță).
Soluția la enigmă a venit în 1738 tocmai din mâna lui Daniel bernoulli, nepot al lui Nicholas Bernoulli (care a propus paradoxul), deși Gabriel cramer Deja anticipasem rezultatul cu ani înainte. Cheia se află în indiciul pe care l-am dat deja în abordarea originală: valoarea banilor Nu este același lucru pentru matematicieni ca și pentru muritorii obișnuiți.
De fapt, în „Noua teorie a măsurării norocului”, Daniel Bernoulli afirmă următoarele:
Functie utilitara (u (x)) este trucul pe care economiștii îl folosesc pentru a putea reprezenta matematic preferințele agenților economici, iar în cazul unei persoane raționale, deși este mereu în creștere, crește într-un concav (adică crește din ce în ce mai încet). Simțul comun susține această intuiție. Valoarea „reală” de 100 de euro pentru cineva care are zero este enormă (deoarece este o chestiune de supraviețuire), dar pentru cineva care are deja un milion de euro, este neglijabilă. Cu alte cuvinte, utilității marginale de bani scade.
Prin urmare, nu trebuie să măsurăm valoarea așteptată a jocului, ci utilitatea așteptată (pe care o vom numi U). Revizuind formulele din celălalt post, ne-am da seama rapid că utilitatea menționată este U = (1/4) u (2) + (1/8) u (4) + (1/16) u (8) +. = Σ [u (2 n)/2 n + 1], unde u (x) reprezintă utilitatea de a primi x euro.