O problemă de greutate clasică - Notebook of Scientific Culture
Matemotion
Problemele de greutate și scară sunt foarte frecvente în matematica recreativă. Verificând cartea 100 de mari probleme de matematică elementară - 100 de mari probleme de matematică elementară Mi-am amintit de o problemă clasică de greutate din secolul al XVII-lea și mi s-a părut interesant, datorită atractivității, interesului și simplității sale, să o amintesc în această secțiune a Caietului de cultură științifică.
Problema a fost propusă de matematicianul, lingvistul, filosoful și poetul francez Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), care a realizat traducerea și ediția latină, în 1621, a operei Aritmetic al matematicianului grec Diofant (sec. III), în cadrul cărții sale Problèmes Plaisants et Délectables, Qui se font para les names - Probleme plăcute și delicioase care apar cu numerele (1612).
Problema propusă de matematicianul francez este următoarea:
Problema greutății Bachet de Méziriac: Determinați cel mai mic număr de greutăți și greutatea lor în kilograme *, necesare pentru a cântări orice număr de kilograme între 1 și 40, ambele incluse (fără a admite fracții).
[* În textul original sunt kilograme]
Deși nu este specificat explicit în textul problemei, se referă la faptul că cântăririle sunt efectuate cu o balanță cu două brațe, respectiv cu două plăci, astfel încât greutățile să poată fi plasate pe oricare dintre cele două plăci pentru a obține greutatea dorită (similar cu cea pe care o putem vedea în imaginea următoare, deși cu licența că cea din imagine nu ar deține greutățile despre care vorbim). Astfel, dacă aveți o greutate de 9 kilograme și alta de 5 kilograme, puteți cântări 4 kilograme de portocale, punând greutatea de 9 kilograme într-una dintre farfurii și în cealaltă greutatea de 5 kilograme cu portocalele. Matematic, facem operația de scădere, 9 kilograme - 5 kilograme = 4 kilograme.
Adică, având în vedere unele greutăți cu anumite greutăți, este posibil să se cântărească orice cantitate obținută ca adunare sau scădere a valorilor greutăților.
Echilibrați cu două brațe sau două plăci
In carte 100 de mari probleme ale matematicii elementare în esență, apare aceeași problemă, deși afirmația include deja informațiile că există 4 greutăți, cu o literatură puțin mai atractivă pentru un cititor general.
Probleme: Un negustor avea o greutate de 40 de kilograme *, dar a căzut și s-a rupt în 4 bucăți diferite. Când piesele au fost cântărite, s-a constatat că fiecare cântărea un număr exact de kilograme și că între cele patru se putea cântări orice număr de kilograme * între 1 și 40. Câte kilograme * cântăresc fiecare dintre piese?
Să rezonăm într-un mod similar cu Bachet în urmă cu 400 de ani. Ideea lui Bachet este de a începe cu două greutăți, astfel încât să putem cântări orice între 1 și , pentru cât mai mare posibil. Este evident că soluția este de două greutăți de 1 și 3 kilograme, cu care pot fi realizate greutăți între 1 și 4 kilograme:
1 = 1, 2 = 3 - 1, 3 = 3 și 4 = 1 + 3.
Amintiți-vă că adăugarea înseamnă punerea greutăților pe aceeași placă, în timp ce scăderea înseamnă punerea lor pe plăci diferite.
Cu toate acestea, pentru alte sume am fi avut aceeași sumă de pesos, dar nu între 1 și . De exemplu, cu greutăți de 2 și 3 kilograme obțineți 1, 2, 3 și 5 kilograme, dar nu și 4 kilograme.
Acum, ar trebui să vedem ce greutate să adăugăm pentru a obține toate greutățile cuprinse între 1 și , pentru mai mare de 4. Deoarece avem deja cele două greutăți de 1 și 3 kilograme și am reușit să cântărim toate greutățile cuprinse între 1 și 4 kilograme, trebuie să luăm o greutate a cărei diferență cu maximul atins până acum, 4 kilograme, este următoarea greutate, 5 kilograme (deci, 9 kilograme, deoarece 9 - 5 = 4, sau ce este același, 9 = 2 x 4 + 1), întrucât astfel se obțin toate cantitățile de la 5 kilograme la acea cantitate, 9 kilograme, când se scade din 9 kilograme (adică se pune pe cealaltă placă) toate cantitățile de la 1 la 4:
5 = 9 - 4 = 9 - (1 + 3), 6 = 9 - 3,
7 = 9 - 2 = 9 + 1 - 3, 8 = 9 - 1, 9 = 9.
Dar, în plus, putem obține și toate greutățile cuprinse între 9 și 9 + 4 = 13 kilograme:
10 = 9 + 1, 11 = 9 + 2 = 9 + 3 - 1,
12 = 9 + 3, 13 = 9 + 4 = 9 + 3 + 1.