Pendulul
Oscilații
Activități
Lungimea unei elipse.
În capitolul Solid rigid, am studiat micile oscilații ale unui pendul compus. Pe această pagină, vom studia comportamentul general al unui pendul, pentru amplitudini mici și mari, și chiar și atunci când pendulul se rotește.
Ecuația diferențială care descrie comportamentul pendulului compus este
(1)
Când unghiul q este mic, atunci sin q »q . Pendulul descrie un M.A.S. a cărui perioadă P0 este
Perioada pendulului
Să presupunem că pendulul se află într-o poziție stabilă de echilibru și îl furnizăm cu o energie ȘI.
Pendulul capătă o viteză inițială w 0. Pe măsură ce un unghi q se mișcă, energia cinetică de rotație este convertită în energie potențială, până când atinge o abatere maximă q 0 când w = 0. Apoi, procesul invers este realizat, energia potențială este convertită în energie cinetică de rotație, până când trece din nou prin poziția de echilibru q =0, toată energia potențială a fost convertită în cinetică, viteza unghiulară a pendulului va fi - w 0. Pendulul atinge apoi din nou deviația maximă - ce 0 și, în cele din urmă, revine la poziția de echilibru stabil completând oscilația.
Când pendulul atinge deviația maximă w = 0 și E = mgb(1-cos q 0)
Eliberarea timpului dt în ecuația diferențială
Când pendulul atinge deviația maximă q = q 0 Sau, când j = p/2, ați folosit un sfert din perioadă plină desfășurare.
Termenul a unei oscilații o putem scrie
Unde P0 este perioada oscilațiilor de mică amplitudine.
Integrala este numită eliptică completă de primul fel. Programul interactiv care urmează calculează coeficientul P/P0 când introducem amplitudinea θ0 oscilaţie. Calculul se bazează pe procedura Carlson pentru găsirea integralei eliptice de primul tip numit RF (x, y, z). Pleacă de aici Rețete numerice în C, Funcții speciale. Capitolul 6є
Program pentru a calcula perioada unui pendul pentru orice amplitudine
Dezvoltare în serie
Dezvoltăm în serie numitorul integralei eliptice
Integrala devine
Pentru rezolvarea integralelor se utilizează următoarele relații trigonometrice:
Dezvoltarea în serie a perioadei este
(Două)
Dacă amplitudinea este mică putem scrie
iar perioada este aproximativă
Aceasta este prima aproximare la formula pentru perioada unui pendul
Concluzia finală este că perioada crește odată cu amplitudinea q 0. În timp ce perioada 0 este independent de amplitudine atâta timp cât amplitudinea nu este foarte mare și se poate aplica aproximarea sin q »q .
Formule aproximative pentru perioada unui pendul
Mai multe formule aproximative pentru perioada pendulului sunt cunoscute pentru orice amplitudine, care poate fi comparată cu expresia exactă
Reprezentarea grafică corespunde curbei roz, care aproxima cel mai bine curba roșie.
Reprezentarea grafică corespunde curbei negre, care este oarecum mai bună decât cea precedentă curbei roșii.
Reprezentarea grafică corespunde curbei de culoare verde, care este cea care aproxima cel mai bine curba de culoare roșie.
Curba energiei potențiale
După cum am văzut deja în acest capitol, curbele de energie potențială ne oferă informații calitative despre comportamentul sistemului fizic.
Energia potențială a pendulului este ȘIp =mgb(1-cos q). Energia potențială maximă a pendulului este de 2mgb, când se află în poziția inversată. Reprezentăm în partea din dreapta sus a appletului, coeficientul energiei potențiale ȘIp între energia maximă a puterii, în funcție de unghiul q, adică funcția
În aceste unități, energia potențială maximă este unitatea pentru q = p, când pendulul este inversat (poziție de echilibru instabilă) și minimul (zero) pentru q =0, poziție stabilă de echilibru.
În această diagramă, reprezentăm printr-o linie neagră energia totală ȘI, suma energiei potențiale și a energiei cinetice. Un segment vertical de culoare roșie indică energia potențială a pendulului pentru poziția q , și un segment de culoare albastră energia cinetică a pendulului în acea poziție. Valorile energiei totale, cinetice și potențiale au fost împărțite la energia potențială maximă 2 mgb.
Principiul conservării energiei afirmă că suma energiei cinetice și a energiei potențiale este constantă. Deci, energia cinetică este maximă atunci când energia potențială este minimă (atunci când pendulul trece prin poziția stabilă de echilibru) și energia cinetică este minimă (zero) atunci când pendulul atinge deviația maximă.
În diagrama de fază reprezentăm viteza unghiulară w (sau impulsul unghiular I0W ) în funcție de deplasarea unghiulară q .
Dacă mișcarea unui sistem fizic este periodică, sistemul revine la aceeași stare după un ciclu complet. Reprezentarea traiectoriei sale în spațiul de fază este o curbă închisă.