Calea unui proiectil tras de la o înălțime h deasupra suprafeței Pământului
Dinamica cerească
În capitolul Cinematică am studiat mișcarea proiectilelor care descriu traiectorii parabolice în planul orizontal local, presupunând că accelerația gravitației este constantă.
Pe pagina intitulată „Descoperirea legii gravitației universale”, am observat că un proiectil tras de la o anumită înălțime descrie o traiectorie eliptică la unul dintre focarele căruia este centrul Pământului. Traiectoriile parabolice sunt aproximări ale traiectoriilor eliptice, când raza și înălțimea maximă a proiectilului sunt foarte mici în comparație cu raza Pământului.
De asemenea, vom presupune că Pământul nu se rotește pe axa sa. Efectul rotației Pământului va fi descris pe pagina intitulată „Deviația spre est a unui corp în cădere”.
Pe această pagină, vom determina traiectoria proiectilului care este tras de la înălțime h, cu viteza inițială v0 făcând un unghi φ cu direcție radială.
De-a lungul acestei pagini, vom avea nevoie de următoarele informații:
Raza Pământului R= 6,37 · 10 6 m
Masa Pământului M= 5,98 · 10 24 kg
Constanta G= 6,67 10 -11 Nm 2/kg 2
Ecuația traiectoriei
| Se trage un proiectil în masă m de la o distanta r0=R + h din centrul Pământului, cu viteză v0 făcând un unghi φ cu vectorul razei. Momentul unghiular și energia proiectilului sunt, respectiv |
Ecuația căii în coordonate polare este
Dacă energia proiectilului este negativă ȘI 6 + 6,37 10 6 m
Înălțimea maximă pe care o atinge proiectilul este h= 18,03 · 10 6 -6,37 · 10 6 = 11,66 · 10 6 m
Viteza cu care ajunge la suprafața Pământului este v= 8999,6 m/s
Unghiul de tragere este φ= 180є.
| Impuls unghiular L= 0, deci calea este o linie dreaptă prin centrul forțelor. Proiectilul coboară de-a lungul direcției radiale până ajunge la suprafața Pământului cu aceeași viteză pe care am calculat-o în secțiunea anterioară. |
Lansăm un proiectil din poziție r0= 6,0 · 10 6 + 6,37 · 10 6 m cu viteza inițială v0= 4500 m/s în direcția radială și spre centrul Pământului
Viteza cu care lovește suprafața Pământului este v= 8999,6 m/s
Unghiul de tragere este φ= 90є.
Gama maximă
Gama maximă apare atunci când este perigeul R, iar apogeul este r0 = h + R.
Deoarece impulsul unghiular și energia sunt constante în toate punctele traiectoriei și, în special, la perigeu și la apogeu, trebuie să
Datele sunt r0 Da R și necunoscutele v Da v0. Rata de foc este
Exemplu: Let h= 6000 km sau distanța de-a lungul direcției radiale este r0= 12,37 · 10 6 m
Calculăm rata de foc, v0= 4681.969 m/s
Axa semi-majoră a elipsei este la= (R + r0) /2=14.37·10 6 m
Timpul de zbor este jumătate din perioadă
Poziția punctului de impact
După cum putem vedea în figură, proiectilul părăsește poziția θ= π și afectează poziția θ= π-α când r = R.
îndura r = R În ecuația traiectoriei, rezolvăm unghiul θ.
Continuând cu aceleași date din cazurile anterioare:
Distanța radială de foc r0= 12,37 · 10 6 m
Viteza initiala v0= 4500 m/s
Unghiul de fotografiere φ= 90є.
Obținem valorile impulsului unghiular și ale energiei proiectilului
L= 5,57 10 10 m kgm 2/s
ȘI= -22.12 10 6 m J
Cunoscând energia și impulsul unghiular, se determină ecuația căii, valoarea parametrului d și excentricitate ε
ε= 0,372
d= 7,77 · 10 6 m
Cu aceste date, punerea r= 6,37 · 10 6 m în ecuația traiectoriei obținem unghiul θ= 0,934 rad.
Distanța unghiulară dintre punctul de impact și poziția de tragere este
α= π-0,934 = 2,20 rad
Numit span la lungimea arcului circumferința Pământului corespunzătoare acestei distanțe unghiulare, s = R α= 14,03 · 10 6 m