Un balon care se ridică în atmosferă; sferă

Un material din cauciuc nu funcționează conform legii lui Hooke. Pe această pagină, studiem comportamentul unui balon umflat cu gaz He.

Considerăm cazul unui balon care se umple cu gaz de heliu la nivelul mării și este eliberat. Vom studia mișcarea de ascensiune a globului.

Este un exemplu care integrează dinamica particulelor, fluidelor și termodinamicii

Presiunea în interiorul unui balon

Când un balon neformat cu rază r0 este umflat la o rază r> r0, suprafața balonului capătă energie elastică datorită deformării. Expresia energiei elastice atunci când balonul se află într-un mediu la temperatura T este

U = 4 π r 0 2 k R T (2 r 2 r 0 2 + r 0 4 r 4 - 3)

unde k este o constantă în unități mol/m 2, R = 8,3143 J/(K mol) este constanta gazului .

Lucrarea necesară pentru creșterea razei balonului de ra r + dr sub acțiunea unei diferențe de presiune ΔP între Pint interior și Pext exterior este produsul diferenței de presiune ΔP și creșterea volumului d V = d (4 3 π r 3) = 4 π r 2 dr

Această lucrare este investită în creșterea energiei elastice a suprafeței balonului.

d W = (d U dr) dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr 4 π r 2 Δ P dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr Δ P = 4 k RT r 0 (r 0 r - r 0 7 r 7) P int ⁡ - P ext = 4 k RT r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = rr 0

Figura arată graficul funcției

f (λ) = (1 λ - 1 λ 7)

Diferența de presiune crește rapid cu coeficientul λ = r/r0, atinge un maxim și apoi scade ca 1/λ pentru valori mari de λ.

Obținem extrema funcției, stabilind derivata funcției f (λ) egală cu zero

- 1 λ 2 + 7 1 λ 8 = 0 λ 6 = 7 λ = 1,383

Umflarea balonului

Inițial balonul se află într-un mediu la presiune atmosferică Pext = P0 și la temperatura T0, conține n0 moli de gaz de heliu și raza sa este r0. Presiunea gazului din interiorul balonului este P0. Ecuația ideală a gazului este

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0

Conectăm balonul la o butelie de gaz care îl alimentează cu Δn moli. Numărul de moli de gaz din interiorul balonului este n = n0 + Δn. Presiunea din interiorul balonului sferic cu raza r este P.

Din ecuația gazului ideal pe care o avem

P 4 3 π r 3 = n R T 0 = n n 0 P 0 4 3 π r 0 3 P λ 3 = P 0 n n 0

Deoarece diferența de presiune dintre interiorul și exteriorul unui balon este

P - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7)

Combinând aceste două ecuații, calculăm raza λ = r/r0 a balonului

n n 0 1 λ 3 - 1 = 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

adevărata rădăcină a polinomului

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

Odată calculat λ, printr-o procedură numerică, diferența de presiune între interiorul și exteriorul balonului este

Δ P = P 0 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

Exemplu.

Presiunea atmosferică, P0 = 101300 Pa
Temperatura ambiantă, T0 = 30º = 303 K
Raza inițială a balonului r0 = 42 cm
S-a setat valoarea constantei k = 0,46235

Numărul de moli inițiali de gaz

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12,5

De fiecare dată când pompa de injecție este pornită, gazul conținut în balon crește cu 5 moli.

Pentru a calcula noua rază a globului, trebuie să rezolvați ecuația

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = 12,5 + i · 5 12,5 b = 16 π · 0,4623 · 0,42 2 3 · 12,5 = 0,10931 i = 1,2,3. Δ P = 101300 · 0,10931 (1 λ - 1 λ 7) = 11073,1 (1 λ - 1 λ 7) Pa

printr-o procedură numerică și apoi, vom calcula diferența de presiune ΔP între interiorul și exteriorul balonului.

Obținem presiunea în cm de apă, înmulțind h cu două, așa cum vedem în simularea de mai jos

Activități

Butonul intitulat Nou

Butonul intitulat Începe

5 moli de gaz sunt injectați în balon

Programul interactiv calculează raza r a balonului în cm și diferența de presiune ΔP între interiorul și exteriorul balonului în Pa. Manometrul măsoară diferența de presiune în cm de apă. De exemplu, o diferență de presiune de 4473,3 Pa este echivalentă cu

Δ P ρ g = 4473,3 1000 9,8 = 0,4564 m = 2 22,8 cm

Butonul intitulat Începe iar balonul este umflat cu încă 5 moli de gaz și așa mai departe.

Un balon care se ridică

Balonul sferic este umplut cu n moli de gaz de heliu la nivelul mării, unde presiunea este P0 și temperatura este T0. Dacă Pint este presiunea din interiorul balonului

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T 0

Diferența de presiune între interiorul și exteriorul balonului este

P int ⁡ - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

Raza globului la nivelul mării este rădăcina ecuației

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

Variația presiunii cu înălțimea într-o atmosferă liniară

Vom presupune că temperatura T scade liniar cu înălțimea și.

T = T 0 (1 - y y 0)

Variația presiunii cu înălțimea este dedusă din ecuația fundamentală a staticii fluidelor

alături de ecuația gazului ideal

P V = m M A R T P = ρ M A R T

unde MA = 0,0289 kg/mol este masa moleculară a aerului.

d P = - PMA gy 0 RT 0 1 y 0 - ydy ∫ P 0 P d PP = - MA gy 0 RT 0 ∫ 0 y 1 și 0 - ydy ln ⁡ PP 0 = η (ln ⁡ (y 0 - y) - ln ⁡ y 0) η = MA gy 0 RT 0 P = P 0 (1 - yy 0) η