Soluție numerică a ecuațiilor mișcării
Dinamica cerească
Activități
| Pe această pagină, studiem mișcarea unui corp de masă m când este lansat dintr-un punct de pe axa X la distanță r1 a centrului de forțe fix, cu viteze crescânde v1 perpendicular pe vectorul razei. |
Legile lui Kepler descriu mișcarea planetelor în jurul Soarelui, fără a investiga cauzele care produc o astfel de mișcare.
1.-Planetele descriu orbite eliptice cu Soarele într-unul din focarele sale.
2.-Poziția vectorială a oricărei planete față de Soare, mătură zone egale ale elipsei în timpuri egale.
3.-Pătratele perioadelor de revoluție sunt proporționale cu cuburile semiaxelor elipsei.
Legile lui Newton nu numai că explică legile lui Kepler, dar prezic și alte traiectorii pentru corpurile cerești: parabole și hiperbolă. În general, un corp sub acțiunea forței gravitaționale de atracție va descrie o traiectorie plană care este o conică.
După cum s-a menționat, proprietățile centrale și conservatoare ale forței de atracție dintre un corp ceresc și Soare determină un sistem de două ecuații diferențiale de ordinul întâi, care atunci când sunt exprimate în coordonate polare, conduc la ecuația traiectoriei, o conică.
Programul interactiv continuă într-un alt mod: calculează componentele accelerației de-a lungul axei X și de-a lungul axei Y, dând naștere unui sistem de două ecuații diferențiale de ordinul doi care sunt rezolvate prin proceduri numerice.
Soluție numerică a ecuațiilor mișcării
Să presupunem că o particulă de masă m (o planetă) este atrasă de un corp masiv de masă M (Soarele) Vom presupune că influența particulei asupra corpului este neglijabilă, rămânând în repaus la origine.
Particula este supusă unei forțe atractive F a cărei direcție este radială și îndreptată spre centrul Soarelui. Modulul forței este dat de legea gravitației universale.
Componentele forței sunt
Aplicând a doua lege a lui Newton și exprimând accelerația ca a doua derivată a poziției, avem un sistem de două ecuații diferențiale de ordinul doi.
Având în vedere condițiile inițiale (poziția și viteza inițială), sistemul a două ecuații diferențiale poate fi rezolvat prin aplicarea procedurii numerice Runge-Kutta.
Cântare
Înainte de a rezolva sistemul de ecuații diferențiale prin proceduri numerice, este convenabil să le pregătiți astfel încât computerul să nu gestioneze numere excesiv de mari sau mici.
Stabilim un sistem de unități în care longitudinea este măsurată în unități astronomice, distanța medie între Soare și Pământ. L= un AU = 1.496 · 10 11 m și timpul în unități de an, = un an = 365,26 zile = 3,156 10 7 s.
În noul sistem de unități x = Lx ’, t = P · t ’, se scrie prima ecuație diferențială
Ce L este axa semi-majoră a orbitei Pământului în jurul Soarelui, este perioada sau timpul necesar pentru a face o revoluție completă și M este masa Soarelui. Prin a treia lege a lui Kepler, termenul
Revenind la notație X și Da pentru poziție și t pentru timp în noul sistem de unitate. Se scrie sistemul de ecuații diferențiale
Principiul conservării energiei
Energia totală a particulei este o constantă a mișcării. Energia particulei de masă m în momentul inițial t= 0 este
Când E0 După cum vedem R se potrivește cu parametrul d, intervenind în ecuația elipsei în coordonate polare.