Cum se rezolvă ecuațiile diofantine - gaussieni
Acest articol a fost promovat pe Menéame. Dacă ți-a plăcut și vrei să o votezi, intră aici și menționează-o.
Motivație
Să presupunem că întâmpinăm următoarea problemă:
Un bărbat merge la un magazin de îmbrăcăminte și cumpără 12 costume, unele negre și altele gri, cu 1200 de euro. Dacă costumele negre valorează 30 EUR mai mult decât cele gri și ați cumpărat cât mai puțin din acestea din urmă, câte costume ați cumpărat din fiecare culoare?
Să-l ridicăm:
Ecuația este:
Făcând matematica avem următoarele:
Dacă te-ai gândi că vom avea un sistem simplu de ecuații de rezolvat, te înșeli. Ne-a rămas o singură ecuație cu două necunoscute. Ne lipsesc datele? Nu. O putem rezolva. Bine ați venit în lumea minunată a Ecuații diofantine.
Ecuații diofantine
A ecuație diofantină este o ecuație algebrică în care apar mai multe variabile ale căror soluții sunt întregi. Adică, rezolvarea unei ecuații diofantine constă în determinarea numerelor întregi care o satisfac. Numele său este preluat de la matematician Diofant al Alexandriei, care, pe lângă faptul că a fost unul dintre primii care au folosit simbolismul în algebră, s-a dedicat printre altele studiului acestor ecuații
Ecuațiile diofantine de tipul de mai sus se numesc ecuații diofantine liniar. Acest caz particular al acestui tip de ecuații este cel pe care vom învăța să îl rezolvăm în acest articol. Mai precis, vom arăta (și demonstra) o metodă de calcul al soluțiilor întregi ale ecuației
Existența soluțiilor
Primul rezultat pe care îl vom vedea și demonstra este legat de existența soluțiilor la aceste ecuații. Să mergem cu el:
Teorema:
O ecuație liniară diofantică a formei are o soluție întreagă dacă și numai dacă cel mai mare divizor comun al lui y este divizorul lui .
De asemenea, dacă o numim, avem că o soluție specială a ecuației menționate poate fi obținută după cum urmează:
fiind .
1.- Începem cu implicația de la stânga la dreapta:
are o soluție întreagă, atunci există astfel încât
Cum este divizorul comun al lui y, atunci y, cu .
Apoi avem următoarele:
Adică, avem o expresie de tip, cu toate numere întregi. În consecință, atât cât trebuie să împartă a, concluzionând astfel această parte a probei.