Aplicații ale funcțiilor exponențiale și logare; tmics

scopuri

La finalizarea acestei lecții, ar trebui să puteți:

• Modelează situațiile care pot fi reprezentate prin funcții exponențiale sau logaritmice.
• Aplicați modele pentru rezolvarea problemelor.

Modelarea situației

În lecția Introducere în funcțiile exponențiale, am învățat să obținem formula funcțiilor exponențiale în funcție de situații. Acum, că știm cum să obținem formulele, le vom folosi pentru a rezolva probleme din viața reală.

O populație de păsări are inițial 50 de indivizi și se triplează la fiecare 2 ani.

1. Care este formula funcției care reprezintă creșterea populației de păsări?
2. Câte păsări sunt după 4 ani?
3. După cât timp populația de păsări va fi de 1000 de indivizi?

Care este formula funcției care reprezintă creșterea populației de păsări?

Dacă x reprezintă numărul de ani trecuți, pe baza a ceea ce am învățat în lecția Introducere în funcțiile exponențiale, știm că formula populației este:

Câte păsări sunt după 4 ani?

Folosind formula pentru x = 4, populația va fi:

f 4 = 50 × 3 4 2 = 50 × 3 2 = 450

După 4 ani vor fi 450 de păsări.

După cât timp populația de păsări va fi de 1000 de indivizi?

Vrem să găsim valoarea lui x pentru care f (x) = 1000:

fx = 50 × 3 x 2 1000 = 50 × 3 x 2 20 = 3 x 2 ln (20) = ln (3 x 2) ln (20) = x 2 ln (3) 2 ln (20) ln (3) = xx = 5.4

Populația de păsări va fi de 1000 de indivizi după 5,4 ani.

50 de miligrame dintr-un anumit medicament sunt date unui pacient. Numărul de miligrame rămase în fluxul sanguin al pacientului scade cu o treime la fiecare 5 ore.

1. Care este formula funcției care reprezintă cantitatea de medicament rămasă în fluxul sanguin al pacientului ?
2. Câte miligrame de medicament au rămas în fluxul sanguin al pacientului după 3 ore?
3. După cât timp va rămâne doar 1 miligram de medicament în fluxul sanguin al pacientului?

Care este formula funcției care reprezintă cantitatea de medicament rămasă în fluxul sanguin al pacientului ?

Dacă x reprezintă numărul de ore scurs, formula pentru cantitatea de medicament din fluxul sanguin al pacientului este:

f x = 50 × 1 3 x 5

Câte miligrame de medicament au rămas în fluxul sanguin al pacientului după 3 ore?

Folosind formula pentru x = 3:

f 3 = 50 × 1 3 3 5 = 50 × 1 3 0,6 ≈ 25,86

După 3 ore, aproximativ 25,86 miligrame de medicament rămân în fluxul sanguin al pacientului.

După cât timp va rămâne doar 1 miligram de medicament în fluxul sanguin al pacientului?

Vrem să găsim valoarea lui x pentru care f (x) = 1:

fx = 50 × 1 3 x 5 1 = 50 × 1 3 x 5 1 50 = 1 3 x 5 ln 1 50 = ln 1 3 x 5 ln (1 50) = x 5 ln (1 3) 5 ln (1 50 ) ln (1 3) = xx ≈ 17.8

După aproximativ 17,8 ore, doar 1 miligram de medicament va rămâne în sângele pacientului.

Găsirea funcției din valorile date

În cadrul unei investigații științifice, o populație de muște crește exponențial. Dacă după 2 zile sunt 100 de muște și după 4 zile sunt 300 de muște.

1. Care este formula funcției care reprezintă creșterea populației de muște?
2. Câte muște sunt după 5 zile?
3. După cât timp populația de muște va fi de 1000 de indivizi?

---