Analiza de recuperare a ratelor de descompunere în imagistica cerebrală ponderată T2 a
1 Analiza recuperării ratelor de descompunere în imagini cerebrale ponderate în T 2 ale rezonanței magnetice Rodney Jaramillo Justinico Universidad Nacional de Colombia Campus Medellín Facultatea de Științe Postuniversitar în matematică iunie 2014
3 Analiza recuperării ratelor de descompunere în imagini cerebrale ponderate T2 de rezonanță magnetică De: Rodney Jaramillo Justinico Lucrare prezentată ca o cerință parțială pentru a se califica pentru titlul de doctor în științe matematice Director: Marianela Lentini Gil Universitatea Națională din Columbia Campus Medellín Facultatea de Științe postuniversitare în matematică iunie 2014
4 Această lucrare a fost parțial susținută de Biroul vicepreședintelui pentru cercetare prin proiectul Consolidarea grupului de calcul științific, cod Hermes 16084
5 Mulțumiri Mulțumesc colegilor și prietenilor mei, profesori ai Școlilor de Matematică și Statistică, care au oferit cuvinte de încurajare pentru realizarea acestui proiect, în mod special lui Carlos Mejía, Marco Paluszny, Hugo Arbeláez și Juan Carlos Salazar. un profund mulțumire Beatriz Correa, fără a cărei insistență nu aș fi reluat studiile doctorale, am un sentiment deosebit de recunoștință față de consilierul meu, profesorul Marianela Lentini, pentru devotamentul său și mai ales pentru învățăturile sale, exemplu, încredere și prietenie., Mulțumesc afecțiunea necondiționată a oamenilor care așteptau cu nerăbdare și, uneori, cu nerăbdarea persoanei dragi, finalizarea acestei teze: mama mea Gladys, tatăl meu Ludoberto, soția mea Olga Rocío și copiii noștri Samuel și Juana
9 Cuprins Rezumat Rezumat Cuprins i ii iii Introducere 1 1 Varianta metodei Prony 3 11 Metode tip Prony 3 12 Varianta metodei Prony 5 2 Analiza stabilității Simulări numerice 17 3 Filtre în domeniul wavelet pentru reducerea zgomotului în imagistica prin rezonanță magnetică Implementarea filtrelor în domeniul wavelet pentru imagistica prin rezonanță magnetică Eliminarea prejudecății pentru date în urma unei distribuții a orezului Implementarea unui nou filtru în domeniul wavelet pentru imagistica prin rezonanță magnetică Formula pentru coeficienți de scală Filtru tip Wiener pentru coeficienți de undă Filtru bilateral Algoritm pentru reducerea zgomotului în imaginile cu rezonanță magnetică Validarea filtrului folosind imagini sintetice Performanța filtrului pe o imagine cu rezonanță magnetică reală 37 4 Rezultate numerice Aplicarea metodei pe imagini ponderate în Real T 2 RMN Re Rezultate numerice pe imagini sintetice Concluzii și discuții despre rezultate 53 iii
10 Bibliografie 54 iv
13 Capitolul 1 Varianta metodei Prony 11 Metode tip Prony Metodele tip Prony constituie o familie de metode care permit rezolvarea, printre alte probleme, a ajustării exponențiale date de sistemul de ecuații kyi = b + C je iλ jtj = 1 i = 1, n, Dacă în formularea dată de (1) b = C 0 și λ 0 = 0 sunt definite, atunci datele yi trebuie să satisfacă modelul µ (ti) = µ (it) yi, unde µ este funcția dată de µ (t) = k C je λjt j = 0 Aceste metode, cunoscute și sub numele de metode polinomiale, sunt caracterizate deoarece µ (t) satisface o ecuație diferențială a formei (δk + 2 E k δ 2 E + δ 1) µ (t) = 0, (2) unde operatorul E este dat de (Eµ) (t) = µ (t + t) și valorile β j = e λ jt sunt rădăcinile polinomului P (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 = 0, (3) care este polinomul caracteristic asociat cu ecuația diferenței (2) La evaluarea (2) pentru ti = it, i = 1, nk 1, obținem setul de ecuații δ k + 2 µ (t k + 2) + + δ 1 µ (t 1) = 0 δ k + 2 µ (tn) + + δ 1 µ (t n k 1) = 0 3
17 În acest caz, coeficienții polinomului α (z) sunt funcțiile simetrice din β 1, β k definite de w (k) 1 = β β kw (k) 2 = β l β rlrw (k) 3 = lr, ls, srw (k) k 1 = (1) k β l β r β sk (k) β lj = 1 w (k) k = (1) k + 1 ljk β j, acești coeficienți sunt calculați ca soluție de sistem de ecuații În cele din urmă, β j sunt rădăcinile polinomului j = 1 M (k) w (k) = Q (k) (12) α (k) (z) = zkkj = 1 w (k) jzkj (13) Cele două teoreme pe care le vom enunța mai jos stabilesc relația care există între soluția obținută prin procedura pe care tocmai am descris-o și metoda modificată Prony descrisă în secțiunea 11 Teorema 1 Fie R matricea ordinii kk definită după cum urmează: R = 1 dacă k = 1, iar pentru k> 1 1, dacă i = j, R (i, j) = 1, dacă j = i + 1, 0, altfel În plus, fie P (z) și α (k) (z) polinoamele definite la (3) și (13) respectiv dacă δ = [δ 1, δ k + 1, 1] este soluția problemei de optimizare (9), atunci vectorul w (k ) = R 1 [δ k, δ 1] T satisface În plus, M (k) w (k) Q (k) = XT δ și P (z) = (z 1) α (k) (z) Test Soluția δ = [δ 1, δ k + 1, δ k + 2] din (9) satisface δ k + 2 = 1 În cazul în care considerăm β 0 = 1 este o rădăcină a lui P (z) din care rezultă că δ j = 1 k + 1 j = 1 7
18 Atunci M (k) w (k) Q (k) = M (k) R 1 Rw (k) Q (k) = M (k) R 1 δ ḳ y k + 1 și k + 2 δ 1 yn 1 yn = M (k) R 1 δ ḳ δ 1 [k + 1 j = 1 δ j] și k + 1 yk + 2 [k + 1 j = 1 δ j] yn 1 yn = M (k) R 1 δ ḳ + yk + 1 și k + 1 δ ḳ + δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 δ k + 2 și k + 2 yn + δ k + 1 și k + 1 yn 1 = δ k + 2 și k + 2 yn + δ k + 1 și k + 1 yn 1 + M (k) R 1 δ ḳ + yk + 1 și k + 1 δ ḳ δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 = δ k + 2 și k + 2 yn + δ k + 1 yk + 1 yn 1 + ykyk 1 y 1 yn 2 yn 1 ynk 1 δ ḳ δ 1 8
19 = y 1 și 2 și k + 2 și 2 și 3 și k + 3 și 3 și 4 și k + 4 ynk 1 ynkyn δ 1 δ 2 δ k + 1 δ k + 2 = W și δ Din ecuația (6) urmează că Acum, pentru polinomul P (z) avem P (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 ((k = (z 1) zk = (z 1) = (z 1) (( j = 1 M (k) w (k) Q (k) = XT δ y (k 1 δ j) zk 1 j = 1 δ j) zk 2 (δ 1 + δ 2) z δ 1) zkw (k) 1 zk 1 w (k) 2 zk 2 w (k) k 1 zw (k) kzk = (z 1) α (k) (z) kj = 1 w (k) jzkj)) Teorema 2 Să presupunem că există doar o soluția problemei de optimizare (9) Vectorul δ R k + 2 este soluția problemei (9) dacă și numai dacă R 1 [δ k, δ 1] T este soluția celor mai mici pătrate ale ecuației liniare (12) Dovadă Fie δ R k + 2 soluția la problema (9), ζ = R 1 [δ k, δ 1] T și fie ψ soluția celor mai mici pătrate a sistemului liniar (12) Din teorema 1 rezultă că XT δ y = M (k) ζ Q (k) min M (k) z Q (k) z = M (k) ψ Q (k) (14) Să considerăm ξ R k dat de [ξ k, ξ 1] T = Rψ (15) și γ R k + 2 definite ca k γ = [ξ 1, ξ k, 1 ξ j, 1] T (16) j = 1 Prin teoremă ( 1) avem M (k) ψ Q (k) = Xγ T y 9